2018年的高斯獎（Carl Friedrich Gauss Prize ）授予了統計學教授David Donoho（大衛·多諾霍），以表彰他“在信號處理的數學、統計和計算分析方面做出的基本貢獻。”
○ 斯坦福大學統計學教授David Donoho。| 圖片來源：Stanford University
對高科技醫療護理來說，核磁共振成像掃描（MRI）是至關重要的一部分：它所呈現出的人體內部的三維視圖，讓醫生得以發現處于破裂邊緣的動脈瘤，能掠過大腦從而布局手術計劃，或者精確地找到骨頭上出現的微小裂縫——所有的這一切都無需動用到一把手術刀或一絲的輻射。而且對于接受掃描的病人來說，配合完成MRI掃描所需的技術要求則很低：病人只需靜靜地在一個狹窄的、嗡嗡作響的管子里，持續地躺約一小時的時間。
○ MRI。| 圖片來源：IMU
但現在，冗長的掃描過程被加快了十倍之多，這都多虧了正進入臨床使用中的一代新的MRI掃描儀。新的技術可為全球每年進行的8000萬次MRI掃描節省大量時間和金錢，而且讓那些無法長時間保持靜止的孩子也能接受MRI掃描。掃描速度的加快還能幫助實現雄心勃勃的3D掃描和心臟跳動的MRI“影像”。
啟發了將這些新設備推向市場的工程師和醫生的，是發表于2006年的數學期刊上的一些見解。如今，這種見解被稱為“壓縮感知”（Compressed Sensing），這個詞是由2018年高斯獎得主David Donoho所創造的術語。而高斯獎表彰的正是這些具有超越數學影響的數學研究。
Donoho與Emmanuel Candè、陶哲軒（Terence Tao）以及其他數學家一起，在21世紀00年代中期發表了數學分析，以顯示壓縮感知或許具有實際應用，并成功地提出了足以激發進一步研究的算法。隨之而來的是大量的數學和實驗工作，這一理論在應用數學家、諧波分析學家和信息理論家的推動得到了長足的發展；為了讓計算稱為可能，數值分析師和計算機科學家創造出快速地算法；MRI研究人員也提供了許多他們自己對核磁共振物理學的深刻理解和更多的開創性見解。
FDA（美國食品及藥物管理局）對新醫療設備的任何潛在創新都設置了很高的標準。然而FDA在2017年批準了壓縮感知設備，這距離壓縮感知的論文首次出現在數學期刊上僅僅十年。這就是影響力！
I. 稀疏性
Donoho是最早發展用數學來描述稀疏信號的研究者之一。稀疏信號是指在多數情況下為零，只會偶爾出現非零波動的信號。這樣的例子比比皆是：例如夜空，偶有一顆星星點綴著廣袤的黑暗——那么少數出現的星星用孤獨的“1”來代表，而無邊的黑暗則可用“0”來表示。再例如人類的基因組，對兩個不同的人來說，每300個核苷酸才會出現一次不同。
Donoho第一次接觸到“稀疏性”（sparsity），是在大學畢業后從事石油勘探工作的過程中。為了尋找深藏于地底的石油，地球物理學家會引燃爆炸，讓地震波傳入地層。每當地震波觸碰到一個新的巖層時，它就會傳回一個回聲；從回波信號中，科學家可以重建地下巖層的圖像。由于巖層的變化相對較少，因此地震波的回波是稀疏的。
II. L1范數
21歲時，Donoho在無意中遇到了一個標志了他職業生涯的謎題。那時，原始的地震測量只能提供大致、模糊的巖層位置。但當時的地球物理學家已經開發出了一種能夠有效地對信號進行“去模糊”化、并對地層變化進行精確識別的方法。這些測量距離的方法都是不同于傳統方式的。
自數學巨人高斯奠定了基礎性的工作以來，科學家就一直將所謂的L?距離運用于數據處理中，這個距離也被稱為“烏鴉的飛行”或歐幾里德距離，它測量的是兩點之間的直線路徑的長度，就像我們在高中幾何中所學到的一樣。然而，令人驚喜的新方法使用的是“L?范數”，也被稱為曼哈頓距離，因為它測量的是如果你必須在矩形網格般的城市中行走，需要穿過多少街區才能從一個點走到另一個點（對角線走法是不被允許的）。（關于距離，可進一步閱讀《如何找到距離最近的TA》）
稀疏信號與L?范數的結合的有效性存在著一些神秘之處，但沒人知道這是為什么。當Donoho回到研究生院攻讀博士學位時，他決心要解開這個難題。在接下來的幾年里，他發展了證明L?范數與稀疏信號間的不合理的有效性的數學理論。
其中，有些現象看上去似乎不可思議。他首先使用“L?+稀疏性”技術來恢復一個以某種未知、任意的方式模糊（現稱為“盲反褶積”）的稀疏信號。接下來，他再用它們來恢復完全丟失的數據。在信號處理中，部分信號的缺失是常有出現的情況，就好比一臺陳舊的錄音機，它可能無法收錄高頻音和低頻音。而Donoho、Philip Stark和Ben Logan則證明了，對于某些特殊信號，即稀疏信號，“L?+稀疏性”技術可以很好地恢復缺失的低頻信號。在其他的研究中，Donoho和他的合作者Jeffrey Hoch和Alan Stern開發了“L?+稀疏性”技術來恢復缺失的高頻信號（即聲學角度的“高音”部分）。
“L?+稀疏性”也能對信號“去噪”：如果我們在稀疏信號中加入噪聲，然后再看它的繪圖，就會看到許多的“雛菊”（信號）出現在“雜草”（噪音）之上；L?最小化提供了一種去除“雜草”但又同時保留“雛菊”的方法。Donoho和Iain Johnstone證明了對稀疏信號來說，這是最優的方法。
III. 諧波分析
上世紀八九十年代，應用數學出現的“小波革命”（詳見：《神通廣大的小波理論》）進一步改變了Donoho的思維。當時的計算諧波分析專家——如2014年高斯獎得主Yves Meyer和與他合作的Ronald Coifman、Ingrid Daubechies和Stephane Mallat——正在構建許多新的工具，以將數字信號轉變成更加有用的形式。他們發展的新的小波變換讓Donoho大開眼界。他在用這些新的工具對數字數據進行轉換之后發現，稀疏性無處不在——它出現在我們每天使用的圖像以及其他媒體中。在Donoho看來，這大大擴展了“L?+稀疏性”的應用平臺。
Donoho的數學結果誘發了最大限度的稀疏化。這些結果能讓他比使用小波來進行稀疏化要做得更好。他尋找那些能“超越小波”的系統，以揭示如圖像中的邊緣、薄片和細絲等幾何現象的隱藏稀疏性。他的合作者Emmanuel Candè和Jean-Luc Starck也很快就瞄準了超越小波，想要達到“曲波”、“束波”，以及其他的某種波。
通過結合幾種不同系統的諧波分析，Donoho更進一步地加深了對信號的稀疏化。例如，被幾個尖刺污染的正弦波在傳統的傅里葉分析法中就不是稀疏的，但可以同時使用傅里葉分析和小波對它進行稀疏地綜合。與合作者Michael Saunders和Scott Chen一起，他開發了一種名為“基追蹤”（Basis Pursuit）的算法，通過最小化L?范數來解決綜合問題。
這取得了令人難以置信的成功，因為解決一個待定方程的系統，并通過算法得到盡可能稀疏的答案，是一項復雜到令人生畏的任務。Donoho與Xiaoming Huo、Michael Elad和Vladimir Temlyakov等人合作，給出了一系列的基礎數學結果，證明了L?范數能夠真正找到最稀疏的這種綜合。
IV. 壓縮感知
到了21世紀00年代中期，在I~III中所描述的三條研究路線聚合到了一起，產生了壓縮感知。這是一種啟發了那些正要遍布市場的快速MRI的數學理論。如前文所提到的，Donoho與Candès、Romberg以及陶哲軒一起，將在小波基視角下的圖像的稀疏性、L?范數的使用、待定方程的使用，這三個成分放在一起運作。他們的數學分析清楚地闡明了，為什么必須這三種成分都同時存在才能讓速度加快，以及在某些假設下，這種組合是如何確保起作用的。如此清晰的數學理解是具有轉換性的，并激發了MRI研究和其他領域的快速發展。
V. 不合理的有效性
從大學時代起，Donoho就相信數學家將通過為數據提供新的模型，提供新的處理算法，以及微妙且強大的理論見解，為信息時代做出貢獻。這三件事情，他都做到了。
而當時年輕的Donoho不知道、也不可能知道的是，純數學的持續發展會是如此的重要。例如，在他自己的研究工作壓縮感知中，Donoho發現扮演重要角色的是隨機矩陣理論、高維的巴拿赫空間理論、隨機凸多胞形理論以及數學自旋玻璃的理論——在所有的這些情況下，純數學都與信號處理無關，而且比Donoho本身都要年輕得多!
50年前，Eugene Wigner（尤金·維格納）就提出“數學的不合理有效性”，他指的是純數學激發實際應用的驚人趨勢。
如果有一天，你也得益于快速的MRI掃描，或許你會記起維格納的這句格言！
